Informacje

Wprowadzenie do funkcji delty Diraca

Wprowadzenie do funkcji delty Diraca

Funkcja delta Diraca to nazwa nadana strukturze matematycznej, która ma reprezentować wyidealizowany obiekt punktowy, taki jak masa punktowa lub ładunek punktowy. Ma szerokie zastosowanie w mechanice kwantowej i reszcie fizyki kwantowej, ponieważ jest zwykle stosowana w funkcji fal kwantowych. Funkcja delta jest reprezentowana przez grecką małą symbol delta, zapisaną jako funkcja: δ (x).

Jak działa funkcja Delta

Reprezentacja ta jest osiągana poprzez zdefiniowanie funkcji delta Diraca, tak aby miała wszędzie wartość 0, z wyjątkiem wartości wejściowej 0. W tym momencie reprezentuje skok, który jest nieskończenie wysoki. Całka przejęta przez całą linię jest równa 1. Jeśli studiowałeś rachunek różniczkowy, prawdopodobnie wcześniej spotkałeś się z tym zjawiskiem. Należy pamiętać, że jest to koncepcja, która jest zwykle wprowadzana dla studentów po latach studiów na studiach fizyki teoretycznej.

Innymi słowy, wyniki są najbardziej podstawowe dla najbardziej podstawowej funkcji delta δ (x), ze zmienną jednowymiarową x, dla niektórych losowych wartości wejściowych:

  • δ(5) = 0
  • δ(-20) = 0
  • δ(38.4) = 0
  • δ(-12.2) = 0
  • δ(0.11) = 0
  • δ(0) = ∞

Możesz skalować funkcję, mnożąc ją przez stałą. Zgodnie z zasadami rachunku różniczkowego przez pomnożenie przez stałą wartość zwiększy się również wartość całki o ten stały współczynnik. Ponieważ całka z δ (x) we wszystkich liczbach rzeczywistych wynosi 1, a następnie pomnożenie jej przez stałą miałoby nową całkę równą tej stałej. Na przykład 27δ (x) ma całkę we wszystkich liczbach rzeczywistych 27.

Inną przydatną rzeczą do rozważenia jest to, że ponieważ funkcja ma niezerową wartość tylko dla wejścia 0, to jeśli patrzysz na siatkę współrzędnych, w której punkt nie jest wyrównany dokładnie na 0, można to przedstawić za pomocą wyrażenie wewnątrz wejścia funkcji. Więc jeśli chcesz przedstawić ideę, że cząstka jest w pozycji x = 5, wówczas zapisałbyś funkcję delty Diraca jako δ (x - 5) = ∞, ponieważ δ (5 - 5) = ∞.

Jeśli następnie chcesz użyć tej funkcji do przedstawienia szeregu cząstek punktowych w układzie kwantowym, możesz to zrobić, dodając do siebie różne funkcje delta diraca. Na konkretny przykład funkcję o punktach x = 5 i x = 8 można przedstawić jako δ (x - 5) + δ (x - 8). Jeśli następnie weźmiesz całkę tej funkcji dla wszystkich liczb, otrzymasz całkę reprezentującą liczby rzeczywiste, nawet jeśli funkcje są 0 we wszystkich lokalizacjach innych niż dwie, w których są punkty. Tę koncepcję można następnie rozwinąć w celu przedstawienia przestrzeni o dwóch lub trzech wymiarach (zamiast jednowymiarowego przypadku, którego użyłem w moich przykładach).

Jest to wprawdzie krótkie wprowadzenie do bardzo złożonego tematu. Kluczową rzeczą, o której należy pamiętać, jest to, że funkcja delty Diraca zasadniczo istnieje wyłącznie w celu nadania sensowi integracji funkcji. Gdy nie występuje integracja, obecność funkcji delta Diraca nie jest szczególnie pomocna. Ale w fizyce, kiedy masz do czynienia z wyjściem z regionu bez cząstek, które nagle istnieją w jednym punkcie, jest to bardzo pomocne.

Źródło funkcji Delta

W swojej książce z 1930 r. Zasady mechaniki kwantowej, Angielski fizyk teoretyczny Paul Dirac przedstawił kluczowe elementy mechaniki kwantowej, w tym notację bra-ket i jego funkcję delta Diraca. Stały się one standardowymi koncepcjami z zakresu mechaniki kwantowej w równaniu Schrodingera.

Obejrzyj wideo: Dirac delta function. Laplace transform. Differential Equations. Khan Academy (Sierpień 2020).