Nowy

Jak korzystać z „If and Only If” w matematyce

Jak korzystać z „If and Only If” w matematyce

Czytając o statystykach i matematyce, jednym z często pojawiających się zdań jest „jeśli i tylko wtedy”. Zwrot ten pojawia się szczególnie w stwierdzeniach twierdzeń matematycznych lub dowodów. Ale co dokładnie oznacza to stwierdzenie?

Co znaczy jeśli i tylko jeśli oznacza to w matematyce?

Aby zrozumieć „tylko i tylko wtedy”, musimy najpierw wiedzieć, co należy rozumieć przez zdanie warunkowe. Instrukcja warunkowa to taka, która jest utworzona z dwóch innych instrukcji, które oznaczymy przez P i Q. Aby utworzyć instrukcję warunkową, moglibyśmy powiedzieć „jeśli P to Q”.

Oto przykłady tego rodzaju instrukcji:

  • Jeśli na zewnątrz pada deszcz, zabieram ze sobą parasol na spacer.
  • Jeśli będziesz ciężko się uczyć, zdobędziesz A.
  • Jeśli n jest podzielny przez 4, a zatem n jest podzielny przez 2.

Converse i warunkowe

Trzy inne instrukcje są powiązane z dowolnymi instrukcjami warunkowymi. Są to tak zwane odwrotne, odwrotne i przeciwne. Tworzymy te stwierdzenia, zmieniając kolejność P i Q z pierwotnego warunkowego i wstawiając słowo „nie” dla odwrotnego i przeciwnego.

Musimy tylko rozważyć tutaj rozmowę. To stwierdzenie pochodzi z oryginału, mówiąc „jeśli Q to P”. Załóżmy, że zaczniemy od warunku „jeśli pada deszcz na zewnątrz, to zabieram ze sobą parasol na spacer”. Odwrotność tego stwierdzenia brzmi „jeśli ja zabierz ze sobą parasol na spacer, a na zewnątrz pada deszcz. ”

Wystarczy wziąć pod uwagę ten przykład, aby zdać sobie sprawę, że warunek pierwotny nie jest logicznie taki sam jak jego odwrotność. Pomieszanie tych dwóch form instrukcji jest znane jako błąd odwrotny. Na spacer można wziąć parasol, choć na zewnątrz nie pada.

W innym przykładzie rozważamy warunek „Jeśli liczba jest podzielna przez 4, to jest podzielna przez 2”. To stwierdzenie jest oczywiście prawdziwe. Jednak stwierdzenie przeciwne: „Jeśli liczba jest podzielna przez 2, to jest podzielna przez 4”, jest fałszywa. Musimy tylko spojrzeć na liczbę taką jak 6. Chociaż 2 dzieli tę liczbę, 4 nie. Podczas gdy oryginalne stwierdzenie jest prawdziwe, jego odwrotność nie jest.

Dwuwarunkowy

To prowadzi nas do dwuwarunkowej instrukcji, która jest również znana jako instrukcja „jeśli i tylko jeśli”. Niektóre instrukcje warunkowe mają również prawdziwe konwersje. W takim przypadku możemy utworzyć tak zwane oświadczenie dwuwarunkowe. Oświadczenie dwuwarunkowe ma postać:

„Jeśli P to Q, a jeśli Q to P.”

Ponieważ ta konstrukcja jest nieco niewygodna, zwłaszcza gdy P i Q są ich własnymi logicznymi instrukcjami, upraszczamy instrukcję dwuwarunkową, używając wyrażenia „jeśli i tylko jeśli”. Zamiast powiedzieć „jeśli P to Q, a jeśli Q to P”, zamiast tego mówimy „P wtedy i tylko wtedy, gdy Q”. Ta konstrukcja eliminuje pewną nadmiarowość.

Przykład statystyki

Na przykład zdanie „jeśli i tylko jeśli”, które obejmuje statystyki, nie szukaj dalej niż fakt dotyczący odchylenia standardowego próbki. Przykładowe odchylenie standardowe zestawu danych jest równe zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości danych są identyczne.

Łamiemy to dwuwarunkowe stwierdzenie na warunkowe i odwrotnie. Następnie widzimy, że to stwierdzenie oznacza oba następujące elementy:

  • Jeśli odchylenie standardowe wynosi zero, wówczas wszystkie wartości danych są identyczne.
  • Jeśli wszystkie wartości danych są identyczne, wówczas odchylenie standardowe jest równe zero.

Dowód dwuwarunkowy

Jeśli próbujemy udowodnić, że jest to dwuwarunkowy, to w większości przypadków go dzielimy. To sprawia, że ​​nasz dowód składa się z dwóch części. Jedna część, którą dowodzimy, to „jeśli P to Q”. Druga część dowodu, którego potrzebujemy, to „jeśli Q to P”.

Niezbędne i wystarczające warunki

Stwierdzenia dwuwarunkowe dotyczą warunków, które są zarówno konieczne, jak i wystarczające. Zastanów się nad stwierdzeniem „jeśli dzisiaj jest Wielkanoc, to jutro jest poniedziałek”. Dzisiejsza Wielkanoc jest wystarczająca, aby jutro było poniedziałkiem, ale nie jest to konieczne. Dzisiaj może być każda niedziela inna niż Wielkanoc, a jutro będzie nadal poniedziałek.

Skrót

Wyrażenie „jeśli i tylko jeśli” jest używane wystarczająco powszechnie w piśmie matematycznym, że ma swój własny skrót. Czasami dwuwarunkowy w wyrażeniu wyrażenia „wtedy i tylko wtedy” jest skracany do po prostu „iff.” Zatem wyrażenie „P wtedy i tylko wtedy, gdy Q” staje się „P iff Q.”